下面要讲的第一个故事，是我在大学当学生时由多位老师在多个场合津津乐道地讲述过的一个真实的历史故事———哈密尔顿创造 “四元数”。
哈密尔顿（Hamilton，1805-1865）是英国数学家、物理学家，长期在爱尔兰的都柏林工作和生活。
在创造“四元数”之前，他已经是爱尔兰皇家科学院的天文学家兼敦辛克天文台台长、皇家科学院院长、英国皇家学会会员、巴黎科学院院士、彼得堡科学院通讯院士，被维多利亚女王授予爵士称号，是一位硕果累累、名声显赫的科学家。在某些人看来，他应该是待在家里养尊处优的主，出来拼搏图什么？但哈密尔顿却非寻常之人。他为创造“四元数”，耗费了15年的心血，这15年他是在废寝忘食、呕心沥血中度过的，真是达到了“为伊消得人憔悴”的境界。
1984年10月16日早晨，早餐后哈密尔顿要到皇家科学院去主持一个会议，其夫人见他近日来心事重重的样子，就主动挽起他的胳膊，边走边聊些轻松的话题，当步行到皇家运河上的Brougham（四轮马车）桥时，刚踏上桥堍，“长期思考的难关在大脑中突然闪出了一道闪电，思想的电路接通了，从中落下的火花就是i、j、k之间的基本公式，恰恰是我需要的样子，我随即掏出笔记本和铅笔头记下了这个公式，又用铅笔刀把它刻在桥的石栏上，这就是我15年苦心思索的结晶”（引自哈密尔顿的自述记录）。又经严密思考后，不久，哈密尔顿在爱尔兰皇家科学院会议上宣布了“四元数”的诞生。这是以往15年的总结，也是其后25年深入研究的开始。
“四元数”是大家熟知的复数系的推广，复数a+bi(其中a、b均为实数)，i是被称为 “虚单位”的一个人为标志性符号，倘若把复数称作“二元数”，那么形如：a+bi+cj+dk的数形式的数系，就是“四元数”系，其中a、b、c、d均为实数，而i、j、k是人为设定的标志性符号，与复数相比，其最大的差异就是乘法不满足交换律，因为ij=k，而ji=-k，不满足交换律的乘法，在当时是难于被人接受的，算是个缺陷吧，但也许像人们常说的“有缺陷的美是更高级的美”。
哈密尔顿当年用小刀刻字之处，如今立着一个石碑，碑文如下：
1843年10月16日，哈密尔顿爵士散步于此，关于“四元数”的基本公式。(i2=j=k2=ijk=-1)的天才发现来源于那时的一闪念。他还将发现它刻于此桥的一块石头上。这是数学史上一个重要的里程碑。
“四元数”在其主人苦思冥想创造他的时候，确实是没有用处的，但在半个世纪后随着量子力学的兴起，它崭露头角了。在数学史上，当时无用而后大放光彩的事例绝非个案。如圆锥曲线用于开普勒定律，黎曼几何用于相对论，仿佛给了那些短视的功利主义者一记重拳。虽然哈密尔顿的“四元数”在当时看不到用武之地，但重视科学与教育的英国人还是给了他很高的评价：“我们无可置疑的1843‘四元数’的伟大诞生对人类的贡献，与维多利亚女王时代任何大事件一样重要。”
提起科学家的顿悟，其鼻祖还要算大名鼎鼎的阿基米德。他从浴池中翻身而出，全裸着奔向家中去做实验，一路上还大声呼喊着 “尤里卡”（我明白了），其激动之情已经忘乎所以，这个故事是大家耳熟能详的，我不再赘述，但要做一点解释，不少人说阿基米德在浴池中悟到了浮力定律，这是不对的，他悟到的事确实与浮力有关，但不是浮力定律，而是王冠体积的求法。
还有一个例子是关于大家都熟知的笛卡尔的。法国人笛卡尔在荷兰时曾在奥伦治公爵的军队里担任一名文书，他的职责之一就是及时向上级报告部队驻地的位置，所以，如何在平面上标记某个点的位置，成了他日思夜想的问题。有几本书上都说他是在晨梦中获得了灵感，建立了我们今天人人都会用的直角平面坐标系，也称笛卡尔坐标系，但这几本书中讲的梦境彼此之间也有出入，所以此故事暂且存疑。
灵感和顿悟现象颇有几分神秘性，容易被人说成是“仙人指路”“天神佑我”“上帝的眷顾”等等，其实这种现象并不仅在数学家中出现，在诗人、作曲家、带兵作战的将军、商场驰骋的商人等群体中都曾有过，因为这些人都容易把脑力专注于某一点，长时间冥思苦想，王梓坤院士对此种现象有个纯唯物的解释，摘录于下：怎样解释这种“灵机一动，计上心来”呢？长时间思考一个问题，大脑中就会建立起许多暂时的联系，架起许多临时的“电线”，把所有有关信息保存着、联系着。同时，大脑还把过去有关的全部知识紧急动员起来，使思维处于一触即发的关头，一旦得到启发，就像打开电钮一样，全部线路突然贯通，立即大放光明，问题马上解决了。因此，所谓灵感并不是什么神秘的东西，而是经过长时间的实践与思考之后，思想处于高度集中与紧张化，所考虑的问题基本成熟而又未最后成熟，一旦受到某种启发而融会贯通时产生的新思想。
许多事例证明：灵感大多是在长期紧张而暂时松弛时得到的，或在临睡前，或在起床后，或在散步、交谈、乘车时。门捷列夫说过，他接连几天考虑如何把元素排列好，最后是在梦中完成的。这些是因为：紧张的思考使思维高度集中于一点，对单点深入很有效，但不利于全面贯通。暂时的松弛则有利于消化、沟通已知的全部资料，有利于冷静回味以往的得失和忽略掉的线索，有利于消除大脑疲劳，使它重新兴奋起来投入战斗。
“文武之道，一张一弛”，以张为主，辅之以驰，只有在长期劳动和思考之后，才能接受启发，产生灵感，这里没有半点侥幸，需要的是老实、勤劳的态度。袁枚有一首谈灵感的诗，“但肯寻诗便有诗，灵犀一点是吾师。夕阳芳草寻常物，借用都为绝妙词”。郑板桥也说，“偶然得句，未及时写出，旋又失去，虽百思不能续也”。这些切身体验都告诫我们，灵感一来要紧紧抓牢（引自王梓著《科学发现纵横谈》）。
在此谈灵感、顿悟等，是想指出科研活动有时是不受人的主观意志控制的，在某个科研活动过程中，顿悟是否降临？何时降临？若有多人思考同一问题，这道灵光最终会花落谁家？这些都是偶然的。
除了上述的偶然性，科学研究中还有另一类偶然现象。
哥斯尼堡七桥问题交到欧拉手上，得到完善解决，类似的问题积累多了，就形成了数学中的新学科———图论，也就是拓扑学的开端，在数学中可谓意义重大，但其原始问题只是个游戏而已。概率论的诞生也相似，1654年一名赌徒向数学家帕斯卡提了一个问题，赌博过程由于某种原因中止了，无法按原定的规则分配赌资，那么用什么方法分配赌资呢？这个概率计算问题有些复杂，引起另一位超级业余数学家费马的好奇，两位数学家在通信中认认真真地研究起来了。概率论在如今的数学中，是个非常庞大而重要的领域，但其研究却起源于赌博，多少会有点匪夷所思吧？
现在医生手中作为治病利器和特效药的抗生素的发现也有偶然性。英国圣玛丽学院的细菌学讲师弗莱明（S.L，Fleming，1981-1955）早就想找到一种有力的杀菌药物。1928年，当他正研究着毒性很大的葡萄球菌时，突然发现本来生长得很好的葡萄球菌在瓶内全部消失了，什么原因？经过仔细观察后发现，原来有毒霉菌掉进了瓶子里，又经过反复验证，证明杀灭这些毒菌的正是青霉素。
1820年，哥本哈根的奥斯特在做课堂演示实验时，无意间把一个小罗盘移到导线旁，当导线通电时磁针有偏移。他敏锐地想到通电的导线也许能产生磁场，就是所谓的电生磁，经过三个月的后继研究，写成论文，对外公布。之后法拉第在对称思维的启示下，做成了磁生电的实验，于是电磁理论迅猛成长起来。以后由西门子等既懂科学、又是企业家的一批人士的推动，社会走上了第二次工业革命。
伦琴（C.V.Rontgen，1845-1923）发现X射线的穿透性的故事更为传奇，甚至还带点戏剧性（详情可参阅有关书籍）。
以上的例子好像有点 “天上掉馅儿饼”或“撞大运”似的。但我认为更合理的解释是：机缘巧合。不要忘掉大家常说的一句话：机遇总是留给最有准备的有心人。那些只有空想而无所事事的人，机遇绝找不上门。
我在这篇文章中大谈偶然性，因为这是科学研究过程中的一个特性，我们科学工作者或者科技管理部门应有所领悟，不要用对待工程或技术的心态或办法对待科学研究，不要以刚性的指标，而是应该清除羁绊、创造宽松而自由的环境，让科学研究者们能“天高任鸟飞，海阔凭鱼跃”。（作者：袁云耀）
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